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试卷名称:考研数学三（一元函数积分学与多元函数微分学）模拟试卷2

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上一题：设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f”(x)≥0，φ...

下一题：求由y＝[*]与x轴所围成的区域绕y＝2旋转一周而成的几何体的体积．

解答题

令f(x)＝x－[x]，求极限

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设z＝f(x，y)二阶可偏导，[*]＝2，且f(x，0)＝1，f’_y(x，0)＝x，则f(x，y)＝_____________．

求曲线y＝3－｜x²－1｜与x轴围成的封闭区域绕直线y＝3旋转一周所得的旋转体的体积．

设f(x)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的x₁，x₂∈[a，b]满足：f[tx₁＋(1－t)x₂]≤tf(x₁)＋(1－t)f(x₂)．证明：f([*])≤[*]f(x)dx≤[*]

令f(x)＝x－[x]，求极限[*]

设u＝f(x,y,xyz)，函数z＝z(x，y)由e^xyz＝[*](xy＋z－t)dt确定，其中f连续可偏导，h连续，求x[*]－y[*]．

设u＝u(x，y，z)连续可偏导，令[*]

求二元函数z＝f(x，y)＝x²y(4－x－y)在由x轴、y轴及x＋y＝6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

设f(x，y)＝[*]讨论f(x，y)在(0，0)处的连续性、可偏导性与可微性．

设f(x，y)＝[*]问：

设函数z＝f(u)，方程u＝φP(u)＋[*]P(t)dt确定u为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求P(y)[*]＋P(x)[*]．

对二元函数z＝f(x，y)，下列结论正确的是( )． z＝f(x，y)可微的充分必要条件是z＝f(x，y)有一阶连续的偏导数若z＝f(x，y)可微，则z＝f(x，y)的偏导数连续若z＝f(x，y)偏导数连续，则z＝f(x，y)一定可微若z＝f(x，y)的偏导数不连续，则z＝f(x，y)一定不可微

求椭圆[*]＝1与椭圆[*]＝1所围成的公共部分的面积．

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕z轴旋转一周所得旋转曲面为S．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f”(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且[*]φ(x)dx＝1．证明：[*]f(x)φ(x)dx≥f[[*]xφ(x)dx]．

设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)＝t^kf(x，y，z)．证明： [*]＝kf(x,y,z)．

设f(x，y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件[*]＞0，[*]＝0，则( )． f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内 f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上 f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上 f(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上

设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)＝t³f(x，y)，且f’_x(1，2)＝1，f’_y(1，2)＝4，则f(1，2)＝_____________．

证明：[*]xa^xinxdx·[*]a^－cosxdx≥[*]，其中a＞0为常数．

证明：当x≥0时，f(x)＝[*](t－t²)sin²ⁿtdt的最大值不超过[*]

求由y＝[*]与x轴所围成的区域绕y＝2旋转一周而成的几何体的体积．

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